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常微分方程重点课程简介
2017-09-18  

常微分方程是数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的必修课。它是数学分析的继续,又是进一步学习本学科的近代内容及泛函分析、数学模型、生物数学、数理方程、微分方程数值解等后续课程的必不可少的基础。它是数学科学联系实际的重要途径之一,在数学学科人才的培养过程中一直起着重要和特殊的作用。从数学的角度看,常微分方程分为经典和现代两部分内容。经典部分以数学分析、高等代数为工具,以求微分方程的解为主要目的;现代部分主要是用泛函分析、拓扑学等知识来研究解的性质。常微分方程对先修课程(数学分析与高等代数等)及后继课程(微分方程数值解法、偏微分方程、微分几何、泛函分析等)起到承前启后的作用,是数学理论中不可缺少的一个环节,也是学生学习近代数学知识的基础,对培养学生分析问题和解决问题的能力有重要作用。

NewtonLeibniz创立微积分以来,人们就开始研究微分方程了。从最初的初等求解技巧到今天日益发达的数值模拟技术, 从早期对方向场的理解到今天关于微分方程定性理论、分岔理论的成熟知识体系, 三百多年的历史使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一, 而且成为数学以外学科最为关注的领域之一。它的发展极大地推动了力学技术、电子技术、生物技术等诸多领域的发展,尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象数值预报、人口增长宏观预测等等, 微分方程为之提供了关键技术支撑。反过来,这些高新技术也推动了微分方程理论走向纵深。从过去对平衡点、周期轨道等的定性研究,到今天对非局部分岔、高余维分岔的分析判定, 微分方程在理论和方法上正经历着一个新的跨越。

      根据我理学院的办学实际情况,我们一直使用丁同仁,李承治等主编的教材《常微分方程》(第二版、高教出版社)。教学时间安排在第三学期,共56学时,3.5学分。6位主讲教师均从事微分方程领域研究,具有深厚、扎实的专业基础,在该学科取得了比较突出的研究成果,据不完全统计,近五年来,几位主讲教师发表的教研论文在20篇以上。

      对本课程的基本要求有:1.了解微分方程的背景、理解和掌握基本概念;2.熟练掌握求解各类一阶微分方程及可降阶的高阶微分方程的初等积分法;3.理解并掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初值与参数的连续依赖性及解对初值的可微性;4.理解并掌握线性方程与方程组的基本理论,熟练掌握常系数线性方程(组)的求解;5.理解并掌握定性与稳定性理论的基本概念、奇点的分类、奇点附近轨线的分布及利用Liapunov第二方法判定奇点的稳定性。

 

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